Senin, 19 Agustus 2019

PENGGUNAAN TURUNAN


Assalamualaikum Wr.Wb…

MAKSIMUM DAN MINIMUM
Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu :
1. Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.
2. Anggap bahwa nilai itu ada.
3. Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakana bahwa :
(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;
(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;
(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :
1. Teorema A :
(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.
Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas. Seperti yang diterangkan dalam Teorema B berikut :

2. Teorema B
(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :
(i). titik ujung dari I.;
(ii) titik stasioner dari f(f’(c) = 0);
(iii) titik singular dari f(f’(c) tidak ada).




















Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu :
Langkah 1 Carilah titik-titik kritis dari f pada I.
Langkah 2 Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

Rabu, 14 Agustus 2019

TURUNAN DAN TURUNAN FUNGSI


Assalamualaikum Wr.Wb…


Turunan dan Turunan Fungsi

     A.      Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif menentukan pengukuran terhadap perubahan fungsi input nilai input. Secara umum, turunan menentukan bagaimana perubahan besaran yang terjadi, Contohnya: turunan dari posisi suatu benda bergerak terhadap waktu berkecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut  diferensiasi . Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.




     
       B.      Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) dari fungsi lain dari fungsi sebelumnya, fungsi misalkan f menjadi f 'yang memiliki nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat bersamaan oleh Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan Inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 - 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716).

Turunan (diferensial) digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah di dalam bidang geometri dan mekanika. Konsep turunan universal atau komprehensif banyak digunakan di berbagai bidang keilmuan.
·       Dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung terdiri, total biaya atau total penerimaan.
·       Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan pertanian
·       Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,
·       Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pembayaran
·       Dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

      1.    Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi
Aturan-aturan dalam turunan fungsi adalah:
f (x), menjadi f '(x) = 0
Bila f (x) = x, maka f '(x) = 1
Aturan pangkat: aturan f (x) = x n , maka f '(x) = n X  n - 1
Aturan kelipatan konstanta: memutuskan (kf) (x) = k. f '(x)
Aturan rantai: membahas (kabut) (x) = f '(g (x)). g '(x))
Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar
Rumus Turunan Fungsi Pangkat

























     2. Rumus turunan hasil kali fungsi 
Rumusan Fungsi f (x) turunan yang terbentuk dari fungsi bahasa u (x) dan v (x), adalah:



3. Rumus turunan fungsi pembagian 
Rumus turunan divisi dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:


4. Rumus turunan pangkat dari fungsi


5. Rumus-rumus Turunan Trigonometri
   Berdasarkan resolusi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yaitu sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yaitu:


























Rabu, 07 Agustus 2019

LIMIT FUNGSI


    Assalamualaikum Wr.Wb…
     
     A.      Pengertian
Konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. 

Limit digunakan dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

     B.      Teorema Limit
Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.














     C.      Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi
Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan.
                                           
     1.       Limit Bentuk 0/0
Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam







           ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :








     2.    Limit Bentuk ∞/∞
Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :







Contoh Soal :

Tentukan Limit !






Cara Penyelesaian :

















Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit bentuk  ∞/∞


       




       Jika m<n maka L = 0
           Jika m=n maka L = a/p
            Jika m>n maka L = ∞
                  
     Bentuk Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan.
Contoh soal :

Tentukan Limit !

      

Jika kalain masukkan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi,

Cara Penyelesaianya :















Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga


           Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nilai limit tak terhingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

Ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut. Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.




Selasa, 06 Agustus 2019

PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK


Assalamu’alaikum Wr.Wb...


A.  Pengertian

           Persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang menyatakan dua hal adalah sama dan dua hal tersebut dihubungkan dengan simbol sama dengan (=).

           Pertidaksamaan adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih dan dihubungkan oleh satu dari beberapa simbol berikut :

< (kurang dari)
> (lebih dari)
≤ (kurang dari atau sama dengan)
≥ (lebih dari atau sama dengan)

          Nilai Mutlak adalah nilai suatu bilangan yang dihitung dari jarak bilangan itu dengan nol (0), sehingga bilangan yang dinilaimutlakkan selalu bernilai positif.
Dengan demikian, dapat diartikan bahwa persamaan nilai mutlak adalah sebuah persamaan yang selalu bernilai positif. Pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif.


B.  Definisi nilai mutlak

Perhatikan garis bilangan berikut :







Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6

Seperti yang dijelaskan di atas bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka timbul lah tanda mutlak.Tanda mutlak disimbolkan dengan dua garis vertikal di tepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.








Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut

               




Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.







Misalnya :


│x+5│= 10

Maka ada 2 bentuk dalam cara penyelesaiannya ,yaitu :
a.    X + 5  ≥ 0
       X         ≥ -5
Syarat pertama adalah nilai x harus lebih besar atau sama dengan -5
       X + 5    = 10
       X          = 10 – 5
       X          = 5  (hasil ini memenuhi persyaratan x ≥-5)

b.    X + 5 < 0
       X         < -5
Syarat kedua adalah nilai x harus kurang dari -5
      -X - 5    = 10
      -X         = 15
       X         = -15 (hasil ini memenuhi karena nilai x kurang dari -5)

Jadi, bentuk dasar di atas dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.


C.  Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk mengambil nilai dari Penilaian nilai cukup mudah. Dengan mengikuti 2 aturan penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah dapat ditentukan nilai penilaiannya. Jadi, bernilai akan positif jika fungsi di dalam tanda dihargai lebih dari nol. Dan akan bernilai negatif jika di dalam tanda nilai kurang dari nol.

Dalam pertidaksamaan nilai tidak cukup dengan cara tersebut. Ada beberapa pertidaksamaan aljabar yang ekuivalen dengan pertidaksamaan nilai nominal. Ataupun dapat disebut sebagai sifat pertidaksamaan nilai nominal.

Sifat yang dapat digunakan untuk menentukan himpunan diselesaikan pada soal-soal pertanyakan nilai yang diberikan.
Sifat-sifat pertambahan nilai sebagai berikut:


 

 Sifat-sifat pertidaksamaan nilai Standar

Dalam menyelesaikan pertambahan nilai, selain perlu mengetahui sifa-sifat yang telah diberikan di atas, kita juga perlu kemampuan untuk mengatur cara oprasi bentuk aljabar. Cara dasar dalam menjalankan suatu bilangan dan variabel.



Senin, 05 Agustus 2019

SISTEM BILANGAN REAL


Assalamu’alaikum Wr.Wb...

A.   Pengertian Bilangan Real

        Bilangan real adalah bilangan yang anggota-anggotanya terdiri dari bilangan irasional dan bilangan rasional.
Contoh : log 3, π, √2, dan lain-lain.
        
        Perlu kalian ketahui pengertian bilangan irasional dan bilangan rasional adalah:

  • 1.    Bilangan Irasional adalah bilangan yang anggota-anggotanya terdiri dari bilangan berbentuk akar dan bilangan desimal tidak berulang yang tidak terbatas. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dari bilangan bulat.

Contoh : √2, π, e, dan lain-lain.

  • 2.    Bilangan Rasional atau bilangan pecahan adalah bilangan yang anggota-anggotanya terdiri dari bilangan bulat, bilangan desimal terbatas, bilangan desimal berulang yang tidak terbatas, pecahan biasa, dan pecahan campuran. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pembagian dari bilangan bulat yang berbentuk a/b dengan a dan b bilangan bulat, serta b tidak sama dengan nol.

Contoh : 8, 6,25. 2/5, dan lain-lain.

B.   Pertidaksamaan
Bentuk dari pertidaksamaan terbagi atas :
1.     Bentuk “p < q” menunjukkan bahwa p lebih kecil dari q
2.     Bentuk “p > q” menunjukkan bahwa p lebih besar dari q
3.     Bentuk “p ≥ q” menunjukkan bahwa p lebih besar atau sama dengan q
4.     Bentuk “p ≤ q” menunjukkan bahwa p lebih kecil atau sama dengan q


C.   Interval adalah batasan dari suatu daerah terdefinisi dari suatu variabel berikut macam-macam interval :
1.     [a, b] atau a ≤ x ≤ b disebut interval tertutup  
2.     [a, b] atau a ≤ x ≤ b disebut interval tertutup di a dan terbuka di b
3.     [a, b] atau a ≤ x ≤ b disebut interval terbuka di a dan tertutup di b
4.     [a, b] atau a ≤ x ≤ b disebut interval terbuka


Contoh soal :

Tentukan HP dari  

Penyelesaian :



  
          Hp: { x | x < - 3 ; - 1 ≤ x < 3 dan x ≥ 6 }

PENGGUNAAN TURUNAN

Assalamualaikum Wr.Wb… MAKSIMUM DAN MINIMUM Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu ...